Entre las curvas del espacio afin n-dimensional En(R) definidas implícitamente, esto es, dadas por las soluciones de una ecuación de la forma F = 0, consideramos las curvas algebraicas, es decir, aquellas en las que F es un polinomio con coeficientes en R (o, dicho de una forma más general, con coeficientes sobre un cuerpo K algebraicamente cerrado).

1.Preliminares:

Consideremos un cuerpo algebraicamente cerrado, como R (números reales) por ejemplo, y construyamos el espacio afín Mⁿ = RxRx..^-n-.xR, que llamaremos espacio afín n-dimensional sobre R. Así, M¹ = R es la recta afín, el espacio M²= RxR es el plano afín, y M³ = RxRxR es el espacio afín tridimensional.

El conjunto de todos los polinomios en n indeterminadas sobre el cuerpo R, o sea,

A= R[x₁, x₂, ..., x_n]

es un anillo, y una familia cualquiera F de polinomios de A engendra, naturalmente, un ideal I(F) de dicho anillo.

También, el conjunto V(F) de los ceros de una familia F de polinomios de A, que llamaremos conjunto algebraico, o bien, conjunto algebraico afín engendra un ideal I(V(F)) del anillo A de todos los polinomios en n indeterminadas.

2.Superficies y curvas algebraicas:

Si fR[x₁, x₂, ..., x_n] no es constante, entonces, el conjunto de los ceros de f, V(f)Rⁿ se llama hipersuperficie algebraica n-dimensional. Si el grado de dicho polinomio f fuera uno, grado(f) = 1, entonces se diría que f es un hiperplano n-dimensional.

Si grado(f) = 1 y, además, n = 3, entonces f R[x1, x2, x3] es un plano del espacio ordinario.

Si f₁, f₂, ..., f_n-1 son polinomios del anillo R[x1, x2, ..., xn], `primos entre sí, entonces el conjunto algebraico V(f₁, f₂, ..., f_n-1) se llama curva algebraica de Rⁿ, o bien, curva algebraica n-dimensional.

Si n = 2, entonces, para un fR[x₁, x₂] el conjunto algebraico V(f) se llama curva plana algebraica. Y si el grado de f fuera 1, grado(f) = 1, entonces la curva sería una línea recta del plano, es decir, serían los ceros de un polinomio del tipo ax₁ + bx₂ + c = 0.

1. Puntos simples y puntos singulares:

Dada una curva algebraica por el conjunto algebraico V(f), conjunto de los ceros del polinomio f en n indeterminadas, se dice que el punto p(a, b, ..., w) es un punto simple si es no nula alguna de las n derivadas parciales con respecto a cada indeterminada:

Si se trata de una curva algebraica plana, un punto p(a,b) será simple si es no nula alguna de las dos derivadas posibles:

Un punto que no es simple se llama punto singular de la curva algebraica.

Una curva que solamente está constituida por puntos simples se llama curva algebraica no singular.

3.Recta tangente en un punto simple:

Si consideramos la curva algebraica plana dada por el conjunto algebraica v(f), con f R[x₁, x₂], se llama recta tangente a la misma en el punto simple p(a,b) a la recta del plano dada por los ceros del polinomio

que podemos representar por

4. Documentación:

FULTON, WILLIAN. Curvas Algebráicas. Editorial Reverté
ABELLANAS C., PEDRO, Geometría Básica. Ediciones Romo

Curvasal.Zip (10 kb)

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