Si llamamos M₂ al plano métrico asociado al espacio vectorial euclidiano de dos dimensiones, (E₂, R), y consideramos el sistema de referencia ortonormal en M₂, {0, {u₁,u₂}}, se puede establecer la biyección o correspondencia biunívoca
 

f: (E₂, R) -----------> M₂

por la que a cada vector del espacio vectorial le corresponde un punto del espacio métrico, definido de la siguiente manera
 

Y también, desde un intervalo cualquiera [a, b] de números reales, se puede establecer la aplicación
 

v(u):[a, b]------> (E₂,R),

por la que a cada número real r de [a, b] le corresponde un vector del espacio (E₂,R):
 

Esto quiere decir que para un par cualquiera ([a, b], v(u)), donde [a, b] es un intervalo cerrado de R y v(u):[a, b]-----> (E₂,R), una función vectorial continua por la que a cada numero real de [a, b] le corresponde un vector del espacio vectorial (E₂,R), queda definida la aplicación compuesta

f o v(u):[a, b]----------> (E₂,R) -----------> M₂

que denotaremos, simplemente, por v(u).

Así, pues, podemos considerar el conjunto de todos los pares de la forma ([a, b], v(u)) donde [a, b] es un intervalo cualquiera del cuerpo R de los números reales, y v(u):[a, b]----> M₂ es una función vectorial continua, por la que a cada número real del intervalo le corresponde un punto del plano métrico M2, o bien, indistintamente, el vector de posición de dicho punto.
 
 

Sea H el conjunto de todos los pares ([a, b], v(u)). Definimos en H una relación de equivalencia por la condición de que dos pares, ([a, b], v(u)) y ([c, d], w(u)), son:

a) Equivalentes propiamente sii existe una función continua estrictamente creciente h: [a, b]-à [c, d] tal que h(a) = c, h(b) = d y h(w(u)) = v(u).

b) Equivalentes impropiamente sii existe una función continua estrictamente decreciente h: [a, b]-à [c, d] tal que h(a) = d, h(b) = c y h(w(u)) = v(u).

Es inmediato que esta relación es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva), por lo que parte al conjunto H en clases de equivalencia, estando formada cada clase por el conjunto de los pares entre sí equivalentes.

Cada una de las clases de equivalencia en la relación anterior se llama arco de curva plana definida paramétricamente. Cada elemento ([a, b], v(u)) de una clase es una representación paramétrica del arco de curva plana definida paramétricamente.

Se dice que el arco de curva plana definida paramétricamente ([a, b], v(u)) es cerrado, sii v(a) = v(b).

Se dice que el arco de curva plana definida paramétricamente ([a, b], v(u)) es un arco simple de Jordan sii la función v(u) es uno a uno. Esto es, inyectiva.

Un arco simple cerrado o curva de Jordan es un arco ([a, b], v(u)) en donde la función v(u) es uno a uno y además v(a) = v(b).

Dos representaciones paramétricas del mismo arco de curva plana son , por tanto, dos pares equivalentes, ya sea equivalentes propiamente, o equivalentes impropiamente.

Dos representaciones paramétricas del mismo arco de curva plana se dice que tienen la misma orientación sii la biyección continua h: [a, b]----> [c, d] es creciente, esto es, si son equivalentes propiamente. Si dicha biyección es decreciente se dice que tienen orientación opuesta, que es el caso de que sean equivalentes impropiamente. Esta relación parte, por tanto, al conjunto de las representaciones paramétricas de un arco de curva plana en dos clases, que corresponden a los dos sentidos de recorrido del arco: la misma orientación y la orientación opuesta.

Si las funciones componentes de v(u), v₁(u) y v₂(u), son ambas diferenciables r veces y continuas, se dice que ([a, b], v(u)) es de clase r, y se acostumbra a indicar esto escribiendo que  : 1) 
2) 

Digamos, finalmente, que una representación paramétrica admisible se define como representación paramétrica regular sii r >= 1. Es decir, si es, al menos, una vez diferenciable, con primera derivada no nula.

Definimos asimismo como cambio de parámetro admisible de clase r a una aplicación suprayectiva h: [a, b]---> [c, d] tal que

Teorema:

Si h(u): [a, b]----> [c, d] es un cambio admisible de parámetros de clase r, entonces:

 a) h(u) es una aplicación estrictamente monótona, y, por tanto, uno a uno.
b) La función inversa, u(h): [c, d]-----> [a, b]. es, también, un cambio de parámetro admisible de clase r.

En efecto:

 a) Puesto que la derivada h’(u) es continua y positiva h’(u) >0, será la función siempre creciente o bien siempre decreciente. Por tanto, estrictamente monótona.
b) Al ser, en definitiva, h(u) una biyección, existirá la biyección inversa, u(h), que verifica que du/dh = 1/h’(u), pues h’(u) es no nulo, para todo u del intervalo [a, b]. Trivialmente se comprueba la existencia de derivadas segunda, tercera, etc.. con h’(u) en el denominador, por lo que existen hasta el orden r.

Sea el conjunto K de todas las representaciones paramétricas de clase r. Dos elementos de k, ([a, b], v(u)) y ([c, d], w(u)), se dicen equivalentes, propia o impropiamente, si existe un cambio de parámetro admisible de clase r, h: [a, b]----> [c, d] tal que w(h(u)) = v(u), para todo u del intervalo [a, b]. Esta relación es, trivialmente, de equivalencia, y parte al conjunto K en clases de equivalencia, que se llaman arcos de curva paramétrica de clase r. Si r ³ 1, se llaman arcos de curva regular. Consideraremos en lo que sigue solo arcos de curva regulares.

Sea la representación paramétrica v(u): [a, b]----> [c, d], y sean A y B dos puntos de la curva de vectores de posición respectivos v(u_o) y v(u_o +Du). Cualquier punto genérico X de la cuerda que une a los puntos A y B viene dado por un vector de posición v(x) tal que es v(x) = v(u_o) + n.AB, o sea: v(x) = v(u_o) +n.(v(u_o+Du)-v(u_o))

El límite, de existir, al que tiende dicha cuerda cuando el punto B tiende a coincidir con el punto A (o sea, cuando Du -----> 0) es lo que recibe el nombre de recta tangente a la curva en el punto A.

Si existe la tangente a la curva en un punto A, se define la recta normal a la curva en el punto A como la recta perpendicular a la tangente en dicho punto.

Teorema:

1) Si existe el siguiente límite en el punto A de vector de posición v(u_o), entonces existe la tangente a la curva en A.
 

y el vector q(u_o) es el vector director de la recta tangente.

 2) Si v(u): [a, b]----> [c, d] es un arco de curva regular, entonces tiene tangente en todos sus puntos, y es de la forma:

En efecto:

1) Si consideramos que la expresión v(x) = v(u_o) + n.(v(u_o+Du) - v(u_o)) se puede escribir como

se tiene, tendiendo al límite, para Du ---->0:

donde se ha llamado , que es no nulo, pues de lo contrario, no sería una recta.

2) Es inmediato de la definición de arco de curva regular y de 1).

La recta normal en el punto de vector de posición v(u_o) sería, por analogía:
 

donde es q’(uo) un vector perpendicular al vector q(u_o).

Para determinarlo, tengamos en cuenta que si los vectores q’(u_o) y q(u_o) son perpendiculares, será: q’(u_o). q(u_o) = 0, por lo que se tendrá que q’₁(u_o). q₁(u_o) + q’₂(u_o). q₂(u_o) = 0, y la solución más sencilla es que q’₁(u_o) = -q₂(u_o), q’₂(u_o) = q₁(u_o)

Esto nos permite escribir las ecuaciones de la tangente y la normal:

Para la tangente:

eliminando ahora el parámetro: , o bien 

Para la normal actuamos del mismo modo:

eliminando ahora el parámetro: , o bien 

En definitiva, llamando: , a la pendiente de la tangente, se pueden expresar las ecuaciones escalares de ambas rectas así:

 Tangente:

Normal:

O bien, usando la notación clásica corriente:

Sabemos que toda curva regular es rectificable, es decir, admite el cálculo de la longitud de su arco sobre un intervalo real dado. Siendo, por tanto, la representación paramétrica regular ([a, b], v(u)) rectificable, se puede obtener la longitud de su arco sobre el intervalo de definición [a, b], por

Teorema: Sea ([a,b], v(u)) un arco regular y u_o perteneciente a [a, b]. Si es, para todo u del intervalo [a,b], se cumple que s(u):[a, b] ---à [s(a), s(b)] es un cambio de parámetro admisible de clase r.

 En efecto:

 a) s(u) es suprayectiva y estrictamente creciente, por tratarse de la integral de una función positiva.

 b) La derivada de s con respecto a u es no nula: 

 Al parámetro s(u) le llamaremos parámetro longitud de arco.

Si se toma como parámetro la longitud del arco s, entonces la representación paramétrica ([a, b], v(s)) se llama representación paramétrica natural.

Consideremos los vectores t(s) = dv(s)/ds y k(s) = d²v(s)/ds² = dt(s)/ds, y veamos algunas de sus propiedades:

Teorema:

 El vector t(s) es unitario y tangente a la curva.

En efecto:

Siendo  , y siendo el vector director de la recta tangente el , se tendrá: , por tanto t(s) es unitario en la dirección de q(u_o), es decir, en la dirección de la tangente.

Teorema: Si llamamos n(s) al vector unitario tal que k(s) = |k(s)|.n(s), se cumple que:

 1) El vector n(s) es unitario y perpendicular a t(s).
2) El vector dn(s)/ds es paralelo al vector t(s).

 En efecto:

1) Por definición,,por tanto, n(s) es unitario en la dirección de k(s). Veamos ahora la dirección de k(s):

por tanto t(s) y k(s) son perpendiculares, esto es, t(s) y n(s) son perpendiculares.

2) Puesto que n(s) es perpendicular a t(s), bastará probar entonces que dn(s)/ds es perpendicular a n(s): , por tanto es dn(s)/ds perpendicular a n(s), y como n(s) es perpendicular a t(s), se concluye que dn(s)/ds es paralelo al vector t(s).

Los vectores unitarios t(s) y n(s) se llaman, respectivamente, vectores tangente y normal a la curva en un punto, y usualmente se representan por t y n, respectivamente. El vector k(s) se llama vector de curvatura de la curva en un punto. El módulo del vector de curvatura, |k(s)|, se llama curvatura de la curva en un punto.

Teorema (Fórmulas de Frenet):

Se verifican las relaciones

En efecto:

a) Por definición de vector de curvatura, es, y por definición del vector n(s):

b) Se tiene:

Estas expresiones se llaman Fórmulas de Frenet para una curva plana.

Se define el radio de curvatura de una curva en un punto como el inverso de su curvatura R = 1/K(s).

Dados tres puntos de la curva, A, B, C, se llama círculo osculador de la curva en el punto A al círculo que resulta cuando los puntos B y C tienden a confundirse con el punto A, esto es, cuando B, C --à A.

Se comprueba sin dificultad que el radio de curvatura de una curva en un punto es también el radio del círculo osculador.

Asimismo, el centro del circulo osculador se llama también centro de curvatura de la curva, y es c(s) = v(s) + R.n(s).

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