Didáctica matemática
" El objetivo de las investigaciones didácticas es que aporten conocimientos que clarifiquen el significado de los objetos matemáticos "
LA IMPORTANCIA DE LAS GRÁFICAS Y FUNCIONES
GRÁFICAS Y FUNCIONES EN LA ENSEÑANZA
GRÁFICAS CARTESIANAS: UNA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN
SOBRE LA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
LA IMPORTANCIA DE LAS GRÁFICAS Y FUNCIONES.
La idea de función nace a partir del estudio de los fenómenos de cambio, y se expresa a través de diversos lenguajes (tabulado, gráfico, algebraico, etc.), cada uno de ellos apropiado para poner de relieve ciertas características de las funciones. A los problemas generados por la física y especialmente por el estudio del movimiento, verdadero motor inicial del desarrollo de las funciones, debemos añadir las numerosas situaciones que podemos encontrar a nuestro alrededor, tanto en nuestra vida cotidiana como en cada una de las ciencias, incluidas las propias matemáticas.
El concepto de función y de gráfica han ido evolucionando históricamente alcanzando diferentes niveles según su grado de consideración, como objeto o como útil, de la actividad matemática.
En el mundo actual, y en particular en esta sociedad de la información, en los medios de comunicación, existe una gran cantidad de información sobre diversos fenómenos de cambio, en campos tan diversos como la economía o la meteorología, información que se presenta por medio de tablas y especialmente por medio de gráficas. Por eso entendemos que un objetivo de las matemáticas de la escuela obligatoria es capacitar a los alumnos para la lectura e interpretación de dicha información, llegando a extraer las características esenciales de la misma.
GRÁFICAS Y FUNCIONES EN LA ENSEÑANZA
En muchas ocasiones, la información matemática que se obtiene de los objetos y de los fenómenos naturales y sociales viene dada en forma de relación entre magnitudes. Para los primeros cursos de la enseñanza se aboga por un tratamiento gráfico de las relaciones funcionales, recurriendo más adelante a expresiones algebraicas sólo cuando lo aconseje su simplicidad.
Algunos algoritmos y destrezas que deben dominar los alumnos, son la construcción de gráficas a partir de tablas funcionales, o estadísticas, de fórmulas, y de descripciones verbales de un problema, eligiendo en cada caso el tipo de gráfico más adecuado. También deben ser capaces de obtener una estrategia general, que formule conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica, teniendo en cuenta el fenómeno que representa, o su expresión algebraica.
Con todo esto lo que queremos destacar es el valor del lenguaje de las gráficas, que no debe quedarse reducido a la construcción de rectas, y parábolas a partir de expresiones algebraicas cuyas variables carecen de significado concreto, como ha sucedido en la escuela durante mucho tiempo. Por el contrario, las gráficas cartesianas son una forma de representar una función que permiten el estudio de la misma sin necesidad de recurrir a rigurosas definiciones de conceptos muy abstractos, que deben quedar ya para niveles de educación superiores, más allá de la enseñanza obligatoria.
Una función acompañada de su gráfica nos dan una visión general y completa de la función estudiada, proporcionando mayor y mejor información que simplemente la expresión algebraica. La gráfica nos permite "ver" las características globales de la función (variaciones y periodos constantes, crecimiento, máximos, periodicidad...), también determinables a partir de la ecuación, pero mucho más difíciles de interpretar, ya que su determinación a través del lenguaje algebraico presupone, por un lado el conocimiento del significado de los símbolos utilizados, y por otro la interpretación a través de ellos de conceptos abstractos, que con la gráfica es posible intuir más fácilmente.
Un ejercicio del tipo "construir la gráfica de la función que tiene por ecuación y = 2x-3" es un ejemplo típico, y muchas veces exclusivo del trabajo sobre gráficas de funciones que aparece en los libros de texto. Este ejercicio pretende que los alumnos construyan una tabla de valores a partir de una fórmula dada, y a partir de los valores de la tabla construyan la gráfica. Esta visión tan reducida de los procesos de traducción de un lenguaje a otro, que además parte de la expresión algebráica, muy difícil de interpretar, lleva a los alumnos a mecanizar el proceso sin comprenderlo y conduce a una serie de concepciones erróneas sobre el significado de la gráfica.
GRÁFICAS CARTESIANAS: UNA INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIÓN.
El conocimiento del lenguaje de las gráficas, es decir, la capacidad para leer, interpretar y construir gráficas cartesianas, permite establecer la relación existente entre dos magnitudes representadas, pero al mismo tiempo su conocimiento es un instrumento a través del cual pueden construirse nuevos conceptos, como por ejemplo la idea de variación de una función. Asimismo, deben abordarse numerosos conceptos y habilidades propias de las matemáticas, que a menudo se olvidan en el trabajo escolar, y que muestran conceptos supuestamente conocidos como son los de número racional, fracciones y decimales, o de medida.
Algunos autores, en un intento de economizar el saber, sugieren a los alumnos, cómo han de hacer en la práctica los gráficos:
"Como el conjunto de puntos pertenecientes a nuestra función es ilimitado, se disponen en una tabla de valores algunos de los pares correspondientes a puntos de la función. Estos valores, llevados sobre el plano cartesiano, determinan puntos de la gráfica. Uniendo estos puntos con una línea continua se obtiene la representación gráfica de la función" (Lazcano y Barolo 1992 p.70)
Afirmaciones como éstas, respecto a la representación gráfica, permiten a los alumnos elaborar una creencia un poco ingenua. Incapaces de determinar, en la mayoría de los ejercicios, el conjunto de los infinitos pares del grafo, fácilmente encontrarán unos cuantos que unirán inmediatamente entre sí. De ésta manera, los alumnos, sin más herramienta que una pequeña colección de pares de números, son inducidos a unirlos y a contemplar de inmediato cómo surge la gráfica a través de un procedimiento muy sencillo. Se genera en ellos un proceso de evidencia y de transparencia conceptual engañoso, ya que cuando estos mismos alumnos se enfrenten en cursos posteriores al estudio de la representación analítica de curvas, donde se utilizarán todos las herramientas que facilita el Análisis matemático (derivadas, límites, continuidad...) no tendrán mas remedio que preguntarse: ¿por qué ahora es necesario utilizar tantas herramientas para algo que puede solucionarse con una pequeña tabla de valores?
De este modo podemos decir que las partes algoritmizables del saber son privilegiadas hasta el punto que se corre el riesgo de ver reducidos los contenidos a enseñar solamente esas partes, las más fácilmente comunicables, y evaluables: las reglas, en detrimento de lo que tiene verdaderamente su razón de ser, es decir, los conceptos subyacentes, el quehacer matemático.
Se trata de no concebir la gráfica como un fin en sí mismo, sino como un útil del trabajo matemático del alumno.
SOBRE LA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Existen algunos términos clave en la determinación de la noción de función. Aplicación, correspondencia, asociación indican de algún modo una asignación entre objetos, mientras que transformación, y dependencia nos remiten a los efectos de la variación (regida por leyes o criterios) entre objetos cambiantes: sólo podemos percibir que una cosa depende de otra, variando cada una de ellas a fin de constatar cual ha sido el efecto de la variación, y en consecuencia de la transformación.
Un ejercicio muy interesante para ver cual ha sido la comprensión del alumno sobre el tema, es que den ellos una definición de función. Analizaremos las palabras que utilizan para determinar lo que para ellos constituye una función matemática. Si repiten la definición que aparece en los libros de texto, o si construyen una definición personal de dicha noción. Esta definición es una descripción de la propia imagen conceptual que tengan sobre el tema, o bien que se trate (según Freudhental, 1973) de una definición operacional, es decir, de una descripción de los usos que ellos, recientemente, han hecho de ella.
Una expresión como la que hemos utilizado en el primer punto de la web para alumnos, F(x)=2x, tiene una carga instrumental muy fuerte, aunque parezca una función muy limitada.
Los alumnos pueden utilizar diferentes estrategias en su resolución, y estudio, como por ejemplo la "regla de tres" , según el tratamiento clásico de las situaciones de proporcionalidad, pero la modelización funcional exige, además, que observen no sólo la relación absoluta entre las cantidades de las magnitudes, sino una relación relativa (razón) entre las mismas, lo que les conducirá realmente a la proporcionalidad. La razón o proporción es un modelo del que pueden partir los alumnos pero sólo a partir del análisis de su variabilidad, de su dominio de existencia, podrán conducir un proceso de modelización funcional.
Gracias a las tecnologías actuales, cualquier estudiante tiene acceso a un ordenador y a internet, ya no sólo en casa, también en los centros de estudio. Dejar pasar la oportunidad de que los ojos de nuestros propios alumnos contemplen todo lo que se ha explicado en el monitor un ordenador es una pérdida imperdonable.
Aquí hemos echo uso del programa Winplot, que permite representar funciones de una forma sencilla. No pretendemos desviar la atención del alumno con un sofisticado software centrando el aprendizaje en el propio interfaz con la máquina, sino en el proceso formativo que supone interpretar la representación de funciones. La relación entre la expresión algebraica y la gráfico de la función es a todas luces enriquecedora, y vemos más utilidad en ser capaces de pintar un par de letras con un programa que en destripar todos los detalles analíticos de diez funciones.
No sirve de nada saber hacer, si no se sabe qué se hace.
AZCÁRATE, C. y DELOFEU, J. (1989). Funciones y gráficas. Síntesis. Madrid.
RUIZ HIGERAS, L. (1998). La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén.